Как три дуги образуют сферический треугольник
Представьте Землю и выберите два меридиана, которые расходятся по долготе ровно на 90°. Каждый из них идёт от Северного полюса к экватору. На экваторе отметьте точки, где меридианы его пересекают, и соедините их дугой экватора.
Все три стороны — не произвольные линии, а кратчайшие пути по поверхности сферы. Такие пути называют геодезическими: на глобусе ими служат дуги больших кругов. Меридианы и экватор как раз образуют большие круги.
Откуда берутся три прямых угла
У экватора меридиан пересекает его под прямым углом. Поэтому углы в обеих точках у основания треугольника равны 90°.
В вершине у Северного полюса угол между сторонами определяется тем, насколько меридианы разошлись по долготе. При разнице в 90° и там получается прямой угол. Итак, у фигуры три угла по 90°.
На плоскости сумма углов треугольника всегда равна 180°, а здесь она составляет 270°. Это не ошибка измерения: поверхность сферы искривлена, поэтому плоское правило к ней неприменимо. Чем заметнее кривизна поверхности на масштабе фигуры, тем сильнее сумма углов сферического треугольника отличается от 180°.
Что выдаёт кривизну
У сферического треугольника сумма углов больше 180°; превышение называют сферическим избытком. В этом примере он равен 90°. Такая геометрия важна не только для красивой загадки: по ней строят маршруты на глобусе и рассчитывают положение объектов на поверхности Земли.
Если взять земной глобус, этот треугольник займёт одну восьмую его поверхности. На плоском листе ту же фигуру без искажений не нарисовать: при переносе глобуса на карту неизбежно меняются расстояния, углы или форма.
