Парадокс начинается с того, что считать «частью»
Речь идёт не о тонкой оболочке шара, а о всём его внутреннем объёме. Его точки можно разделить на конечное число множеств так, чтобы после поворотов и переносов эти множества сложились в два шара, каждый равный исходному. В известной версии теоремы таких частей пять.
Но части здесь не похожи на дольки апельсина. Их границы нельзя провести обычным образом: множества настолько разрежены и устроены так хитро, что им нельзя приписать привычный объём.
Где перестаёт работать привычная арифметика
Для обычных тел объём сохраняется при повороте и переносе, а объём частей складывается в объём целого. Если применить эти правила к описанному разбиению, получится, что один шар имеет тот же объём, что и два таких шара. Противоречие возникает потому, что правила объёма нельзя распространить на все возможные множества точек.
Здесь действует понятие измеримости: у измеримого множества можно определить объём так, чтобы он согласовывался с геометрией и сложением частей. У некоторых множеств из этого разбиения такого объёма нет. Поэтому закон сохранения объёма не нарушается — его просто нельзя применить к каждому фрагменту.
Почему точкам удаётся такое разбиение
В математическом доказательстве точки связывают в группы по тому, как их можно получить друг из друга поворотами. Из каждой группы выбирают представителя, а затем распределяют точки по частям. Такой выбор опирается на аксиому выбора — принцип, позволяющий выбрать по одному элементу из каждого семейства непустых множеств, даже когда нельзя задать практический способ выбора.
Именно поэтому разбиение существует как абстрактный математический объект, но его нельзя изготовить ножом, собрать из атомов или воспроизвести в компьютерной модели с конечной точностью. Фокус показывает не возможность размножить материю, а границу между геометрическими фигурами, которым можно приписать объём, и множествами точек, для которых это понятие перестаёт работать.
