Почему у 1/7 повторяются цифры
При делении столбиком после каждого шага остаётся остаток. Чтобы получить следующую цифру, остаток умножают на 10, делят на 7, а остаток от этого деления переносят дальше. Возможных остатков всего семь: от 0 до 6. Если остаток стал нулём, десятичная запись закончилась. Если же он повторился, деление вернулось в прежнее состояние — и следующие цифры будут повторять уже пройденные.
Для 1/7 остатки сменяются так: 1, 3, 2, 6, 4, 5, а затем снова 1. Им соответствуют цифры 1, 4, 2, 8, 5, 7. Поэтому получается 0,142857142857…: повторяется не случайная группа цифр, а весь цикл, заданный последовательностью остатков.
Почему цикл заканчивается, а цифры — нет
У дроби 1/7 остаток никогда не становится нулём, потому что 7 не делит никакую степень числа 10. Поэтому десятичная запись не может оборваться. Но повтор остатка неизбежен: вариантов ограниченное число, а деление продолжается. Для знаменателя 7 цикл занимает шесть шагов — столько разных ненулевых остатков проходит деление до возвращения к исходному.
Вообще запись сокращённой дроби заканчивается тогда и только тогда, когда её знаменатель состоит только из множителей 2 и 5. Эти числа входят в разложение 10 = 2 × 5: подходящую степень десяти можно подобрать так, чтобы знаменатель делил её без остатка. Например, 3/8 заканчивается, поскольку 8 = 2³. А знаменатель с другим простым множителем, как 7, не позволит остановить деление.
Цикл можно переставлять
Повтор 142857 примечателен и тем, что при умножении на 2, 3, 4, 5 или 6 цифры этой последовательности лишь циклически сдвигаются: например, 142857 × 2 = 285714. Причина в том, что 1/7 умножают на целое число, а результат всё ещё выражается теми же шестью цифрами в круговом порядке. Так остатки, возникающие при обычном делении, объясняют сразу и повторение, и неожиданную арифметическую симметрию.
