Почему два действия нельзя просто поменять местами
Матрица преобразования задаёт правило для каждой точки фигуры: куда её перенести относительно выбранных осей. При последовательных действиях результат первого становится входом для второго. Поэтому важно не только, какие преобразования выбраны, но и в каком порядке они применяются.
Представим точку справа от центра — с координатами (1, 0). Повернём её на четверть оборота против часовой стрелки, а затем растянем фигуру по горизонтали вдвое. После поворота точка окажется сверху, на вертикальной оси; горизонтальное растяжение её не сдвинет. Если же сначала растянуть точку, она окажется дальше справа, а поворот перенесёт её дальше вверх. Итоговые положения различаются.
Что именно «помнит» матрица
Растяжение здесь направлено вдоль фиксированной горизонтальной оси, а не вдоль самой фигуры. После поворота горизонталь и вертикаль относительно фигуры уже поменялись местами, поэтому растянуть «по горизонтали» означает воздействовать на другую её сторону. Если бы растяжение поворачивалось вместе с фигурой, результат мог бы быть иным.
В записи с матрицами эта зависимость выражается умножением: для столбцов координат правый множитель применяется первым. Поворот и растяжение обычно не перестановочны — их произведения в разном порядке дают разные преобразования. Это важно в компьютерной графике и робототехнике: матрицы там задают положение точек, деталей и объектов, а перепутанный порядок действий может переместить всю фигуру не туда.
