Почему открытая дверь не делит шансы заново
На первый взгляд после открытия пустой двери остаются два равноправных варианта: выбранная вами дверь и другая закрытая. Но ведущий не просто убирает случайную дверь. Он знает, где приз, и обязан показать пустую. Его действие зависит от того, где находится приз, поэтому оно несёт информацию.
Представьте, что приз заранее спрятан за одной из трёх дверей, а ваш выбор сделан наугад. В двух случаях из трёх вы выберете пустую дверь. Тогда ведущему придётся открыть другую пустую дверь, и приз окажется за той, на которую можно переключиться. Лишь в одном случае из трёх первый выбор сразу попадёт на приз: тогда смена приведёт к проигрышу.
Ведущий сужает выбор, но не меняет первый
Открытие двери не превращает ваш первоначальный выбор в более удачный: вероятность того, что приз был за ним, остаётся связанной с тем, как вы выбирали, — это один шанс из трёх. Зато за второй закрытой дверью сосредоточены случаи, когда первый выбор оказался неверным. Поскольку ведущий убирает из пары дверей заведомо пустую, этот шанс достаётся оставшейся закрытой двери.
Удобно увидеть это, если представить не один раунд, а множество повторений. Если всегда оставаться при первом выборе, победа будет примерно в каждом третьем раунде. Если всегда менять дверь — примерно в двух из трёх: вы выигрываете всякий раз, когда изначально выбрали не приз.
Важное условие задачи
Этот вывод держится на правилах: ведущий знает, где приз, всегда открывает пустую дверь и всегда предлагает сменить выбор. Если он действует иначе — например, открывает дверь случайно или предлагает смену не во всех случаях, — само открытие может означать другое, и ответ зависит от его поведения.
Поэтому пара закрытых дверей после действия ведущего лишь выглядит симметричной. Одна сохранила шанс первоначального выбора; другая получила весь шанс двух дверей, которые вы не выбрали.
