Почему случайное падение палочки связано с π
Этот опыт известен как задача Бюффона. Его неожиданная идея в том, что вероятность пересечь линию зависит от геометрии поворота палочки, а не только от того, где она упала. Именно при подсчёте всех возможных ориентаций появляется π.
Как возникает формула
Пусть палочка длиной L короче расстояния d между параллельными линиями. Обозначим через x расстояние от её середины до ближайшей линии, а через θ — угол палочки относительно направления линий. Пересечение произойдёт, если половина палочки, направленная к линии, дотянется до неё: x ≤ (L/2) sin θ.
Середина может оказаться в любом месте промежутка между линиями, а угол — принимать значения от 0 до π/2; остальные положения симметричны. Если считать эти варианты равновероятными, усреднение условия пересечения даёт вероятность 2L/(πd). В формуле возникает π, потому что среднее значение sin θ на этом угловом диапазоне равно 2/π.
От вероятности к числу
Пусть палочку бросили N раз, а линию она пересекла C раз. Доля попаданий C/N при большом числе бросков обычно приближается к теоретической вероятности. Поэтому π можно оценить, переставив множители: π ≈ 2LN/(dC).
Один бросок ничего не сообщает о π: результат случаен, а оценка может заметно колебаться. Но серия бросков превращает геометрическую вероятность в измерение. Чем больше наблюдений, тем меньше обычно влияние случайных отклонений — и тем ближе полученная оценка к числу, спрятанному в среднем повороте палочки.
