Почему после среза остаётся та же форма
У золотого прямоугольника длинная сторона относится к короткой примерно как 1,618 к 1. Название здесь обозначает конкретное соотношение сторон, а не материал: прямоугольник может быть нарисован на бумаге или задан числами.
Если от длинной стороны отрезать квадрат со стороной, равной короткой стороне прямоугольника, длина оставшейся части равна разности длин сторон. У золотого прямоугольника эта разность оказывается такой, что новый, меньший прямоугольник снова имеет отношение сторон примерно 1,618 к 1. Он подобен исходному — то есть совпадает с ним по форме, хотя отличается размером.
Геометрическая матрёшка
Тот же шаг можно повторять: из оставшегося прямоугольника снова вырезать квадрат по его короткой стороне. После каждого среза остаётся ещё один золотой прямоугольник, а квадраты становятся всё меньше. Это не случайное приближение, а следствие особого соотношения сторон: оно сохраняется при таком вычитании.
Если начертить внутри каждого квадрата четверть окружности, линии образуют спиралевидную последовательность дуг. Это удобная геометрическая конструкция; сами дуги не являются непрерывной спиралью, а складываются из отдельных частей.
Где здесь точная математика
Число 1,618 — округлённая запись золотого отношения. В строгом виде оно равно \((1+\sqrt{5})/2\). При каждом срезе стороны уменьшаются, но их отношение остаётся тем же; поэтому геометрическую «матрёшку» можно продолжать сколько угодно в идеальной математической модели. На реальном чертеже процесс остановится, когда линии и измерения станут слишком мелкими для выбранного масштаба.
