Как устроена снежинка Коха
Начинают с равностороннего треугольника. На каждой стороне отмечают среднюю треть и заменяют её двумя сторонами небольшого выступа — как будто к границе пририсовали треугольный зубец. Затем ту же операцию повторяют на каждом новом отрезке.
После шага каждый отрезок превращается в четыре отрезка, каждый втрое короче исходного. Поэтому общая длина границы на каждом шаге умножается на \(4/3\): она всё время растёт, не приближаясь к конечному пределу.
Почему площадь не растёт так же
Зубцов становится больше, но они быстро уменьшаются. На очередном шаге число новых выступов возрастает в четыре раза, а площадь каждого — примерно в девять раз уменьшается: площадь зависит от квадрата линейного размера. Поэтому суммарная площадь, добавленная за шаг, составляет лишь \(4/9\) от добавки предыдущего шага.
Такие добавки образуют убывающий ряд: их можно складывать бесконечно, но итоговая сумма остаётся конечной. Иными словами, бесконечно длинная граница не требует бесконечной площади внутри неё.
Что означает «бесконечный периметр»
Это свойство идеальной математической фигуры после бесконечного числа повторений. На практике нельзя изготовить бесконечно мелкие зубцы: у материала есть предел прочности и у измерения — предел точности. Но модель показывает важное различие: длина границы и площадь фигуры могут вести себя совершенно по-разному. Снежинка Коха помещается в ограниченной области, хотя её идеальный контур не имеет конечной длины.
