Почему важны все возможные пары
Интуиция обычно сравнивает каждого участника с одним человеком — с вами. Но задача устроена иначе: совпасть могут любые двое. При 23 участниках получается 253 пары, и каждая из них — отдельная возможность обнаружить совпадение. Эти возможности не независимы, поэтому просто складывать их вероятности нельзя; но их много, и вместе они быстро меняют результат.
Как накапливается вероятность
Удобнее сначала посчитать противоположное событие: что дни рождения у всех разные. У первого человека дата может быть любой. Чтобы второй не совпал с ним, ему подходят 364 даты из 365; третьему — 363 из оставшихся, и так далее. Вероятность отсутствия совпадений равна произведению долей:
`365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365`.
Для 23 человек это примерно 49,3%. Значит, вероятность хотя бы одного совпадения — оставшаяся часть, около 50,7%. Это приближение предполагает 365 равновероятных дат и не учитывает високосные годы.
Почему ответ кажется неожиданным
Шанс встретить в группе человека именно с вашей датой рождения действительно намного меньше: здесь рассматривается лишь 22 возможных сравнения с вами. В общей же группе каждый новый участник сравнивается со всеми предыдущими, поэтому число пар растёт быстрее, чем число людей. Отсюда и эффект: для превышения половины не нужны сотни участников — достаточно 23.
