Почему первая цифра зависит от масштаба
Представьте набор сумм, расстояний или численности городов, где встречаются и десятки, и миллионы. Чтобы сравнить такие величины, удобно мыслить не равными прибавками, а одинаковыми кратными изменениями: переход от 10 к 20 подобен переходу от 100 к 200 — в обоих случаях значение удвоилось.
На такой логарифмической шкале промежутки между числами соответствуют отношениям, а не разностям. Числа, начинающиеся с 1, занимают отрезок от 1 до 2; с 2 — от 2 до 3; с 9 — от 9 до 10. Первый отрезок относительно длиннее последнего, поэтому при распределении, охватывающем много порядков величины, в него чаще попадают данные.
Откуда берётся перевес единицы
Для любой степени десяти числа с первой цифрой 1 лежат между 1 и 2, умноженными на эту степень: например, между 100 и 200. Для первой цифры 8 соответствующий интервал уже: от 800 до 900. Если значения распределяются примерно равномерно по логарифмической шкале, первый интервал получает больше «места» — и единица чаще оказывается начальной цифрой.
Это не означает, что каждое число само по себе тяготеет к единице. Речь о совокупностях, которые естественно охватывают широкий диапазон и не сосредоточены в узком коридоре. Если все наблюдения ограничены, например, зарплатами одной профессии в одном городе, такой закономерности можно не увидеть.
Как это применяют — и где нужна осторожность
Ожидаемое распределение первых цифр используют как один из способов проверить большие наборы данных: резкое отклонение может подсказать, что стоит внимательнее изучить цифры или способ сбора сведений. Но само по себе оно не доказывает подделку: необычный результат может объясняться правилами формирования данных, их пределами или смешением разных групп.
Запомнить можно простую причину: на шкале, где важны кратные изменения, промежуток «от 1 до 2» шире промежутка «от 8 до 9». Именно поэтому в подходящих наборах единица нередко встречает нас раньше, чем ожидает интуиция.
