Почему переселение не оставляет никого за дверью
У этой гостиницы номера пронумерованы натуральными числами: 1, 2, 3 и так далее. Такой список бесконечен, но у каждого гостя всё равно есть конкретный номер. Если переселить гостя из комнаты с номером n в комнату n + 1, номера меняются по правилу, которое подходит каждому жильцу: бывший гость комнаты 1 занимает комнату 2, бывший гость комнаты 2 — комнату 3 и так далее.
Важно, что при таком перемещении никто не получает номер, уже занятый другим: каждому старому номеру соответствует свой новый. А комната 1 не входит в получившийся ряд занятых номеров, поэтому становится свободной. В обычном конечном отеле сдвинуть всех вправо некуда было бы — последний гость упёрся бы в последнюю комнату. Здесь последней комнаты нет.
Что эта гостиница объясняет об бесконечности
Это мысленный пример, известный как парадокс бесконечного отеля. Его смысл не в странностях гостиничного хозяйства, а в том, что бесконечное множество можно сопоставить самому себе так, чтобы после перестановки в нём осталось место. Для бесконечного ряда «все места заняты» не означает того же, что для конечного: нельзя просто прибавить ещё одного гостя, но можно перераспределить номера.
Та же идея позволяет освободить не одну комнату. Если каждого прежнего гостя поселить в комнате с номером, вдвое большим его старого, все займут чётные номера, а нечётные останутся свободными. Это не практический способ расширить отель: физические здания конечны. Модель показывает, как устроены некоторые математические бесконечности — в частности, бесконечные списки, элементы которых можно пронумеровать по порядку.
