Что именно означает многоточие
Запись 0,999… не описывает число, к которому цифры лишь «почти дошли»: многоточие означает бесконечное продолжение по тому же правилу. Можно рассмотреть конечные записи: 0,9; 0,99; 0,999 и так далее. Каждая из них меньше единицы, но расстояние до неё каждый раз уменьшается в десять раз: сначала это 0,1, затем 0,01, потом 0,001.
В математике бесконечную десятичную дробь понимают через предел — число, к которому всё ближе подходят её конечные приближения. Здесь разница между единицей и очередной записью равна одной единице в следующем разряде: после n девяток это 1/10ⁿ. Когда число разрядов неограниченно растёт, эта разница стремится к нулю. Поэтому предел равен единице.
Почему у числа две записи
Дело не в особом свойстве девяток, а в том, что десятичная запись не всегда однозначно задаёт число. Например, 0,5 и 0,4999… — разные записи одной величины: бесконечные девятки в конце восполняют разницу, которая остаётся у любой конечной записи вроде 0,49 или 0,499.
Это удобно помнить при чтении измерений и вычислений: две десятичные записи могут выглядеть по-разному, но обозначать одну точку на числовой прямой. Между 0,999… и 1 нет крошечного промежутка — любое положительное расстояние было бы заметно на каком-то десятичном разряде, а такого разряда здесь не существует.
