Как предпочтения большинства замыкаются в круг
Представим трёх избирателей и три варианта. Первый ставит A выше B, а B — выше C; второй предпочитает B варианту C, а C — варианту A; третий — C варианту A, а A варианту B. У каждого есть последовательный личный рейтинг, но при попарном голосовании получается круг: A выигрывает у B, B — у C, а C — у A.
Это не ошибка подсчёта. Когда люди сравнивают варианты парами, победитель зависит от того, какие именно два варианта поставлены рядом. Поэтому результаты таких сравнений могут противоречить друг другу, даже если каждый участник голосует последовательно.
Что именно доказывает теорема Эрроу
Теорема Эрроу касается не только циклов, а более общего вопроса: можно ли превратить индивидуальные рейтинги в единый общественный порядок, одновременно сохранив несколько привлекательных требований к правилам выбора. Например, если все предпочитают A варианту B, общественный рейтинг тоже должен ставить A выше B; результат сравнения A и B не должен меняться из-за появления третьего варианта; и ни один человек не должен единолично определять общий рейтинг.
При трёх и более вариантах нельзя построить правило, которое при любых возможных индивидуальных предпочтениях удовлетворяет всем этим условиям и всегда выдаёт непротиворечивый рейтинг. Это и есть смысл теоремы: идеально справедливого способа агрегировать любые предпочтения не существует — приходится выбирать, каким требованием поступиться.
Почему это важно для голосования
Реальные системы поэтому вводят дополнительные правила: например, определяют порядок голосований, используют рейтинговые бюллетени или проводят несколько туров. Такие процедуры не отменяют проблему, а по-разному её обходят: при одних условиях решающим становится порядок сравнения, при других итог зависит от того, как именно устроен подсчёт.
Отсюда следует практическая тонкость: большинство не всегда имеет один очевидный, независимый от процедуры «общий выбор». Иногда небольшое изменение правил меняет победителя — хотя предпочтения избирателей остались прежними.
