Что значит «точно задано», если цифры нельзя вычислить
Число может быть определено через математическое условие, не сводящееся к перечислению его цифр. Например, можно задать его как единственную величину, удовлетворяющую некоторому точному свойству. Это уже фиксирует число: оно не меняется от того, знаем ли мы его десятичную запись.
Вычислимым называют число, для которого существует алгоритм: попросите больше знаков после запятой — и алгоритм за конечное число шагов выдаст их с гарантированной точностью. Для невычислимого числа такого универсального цифрового рецепта нет. Это не означает, что оно расплывчато или случайно: точным может быть само определение, хотя получить сколь угодно длинное приближение по нему нельзя.
Где ломается идея «просто считать дольше»
Представьте число, заданное через ответы на бесконечную последовательность вопросов «да или нет». Если для каждого следующего вопроса нужен ответ, который нельзя получить общим алгоритмом, то нельзя алгоритмически извлечь и все цифры числа. Чтобы выдать приближение с заданной точностью, алгоритм должен суметь определить достаточно много таких ответов; если некоторые из них в принципе неразрешимы для алгоритма, ожидание не поможет.
Классический источник подобных ограничений — задача об остановке: нельзя создать алгоритм, который для любой программы заранее верно решит, завершится ли она. Можно математически определить число, чьи разряды кодируют ответы на такие вопросы. Определение точно указывает, что считать, но не превращается в способ автоматически получить все нужные разряды.
Точность и доступность — разные вещи
Невычислимость не мешает рассуждать о числе, сравнивать его свойства или задавать его через строгие условия. Она лишь ставит предел конкретному способу знания — последовательному вычислению цифр с гарантированной точностью. Поэтому математическое определение не всегда является инструкцией для вычислителя: иногда оно точно фиксирует объект, одновременно показывая, почему универсальной процедуры для его цифровой записи не существует.
