Даже между нулём и единицей чисел больше, чем мест в бесконечном списке

Бесконечная очередь может быть «короче» другой

Чтобы сравнить два бесконечных множества, можно спросить: получится ли поставить их элементы попарно в соответствие — каждому элементу одного множества назначить ровно один элемент другого? Целые числа, например, можно перечислить по порядку, двигаясь от нуля попеременно в обе стороны: 0, 1, −1, 2, −2 и так далее. Такая бесконечность называется счётной: список никогда не закончится, но у каждого числа будет свой номер.

С вещественными числами от 0 до 1 ситуация иная. Их нельзя исчерпать никаким списком — даже бесконечным. Это не значит, что между соседними числами можно найти «самое маленькое расстояние»: речь именно о невозможности пронумеровать все числа.

Как доказать, что в списке всегда будет пропуск

Предположим, что полный список всё-таки составлен, и запишем числа десятичными дробями одно под другим. Затем построим новое число: его первую цифру выберем отличной от первой цифры первой строки, вторую — от второй цифры второй строки, третью — от третьей цифры третьей строки и так далее. Чтобы избежать неоднозначности записи вроде 0,4999… = 0,5000…, можно выбирать для новых цифр только 1 и 2.

Получившееся число отличается от первой строки хотя бы первой цифрой, от второй — второй, от третьей — третьей. Значит, оно не совпадает ни с одним числом в списке. Какой бы список ни предложили, правило находит число, которое в него не попало. Противоречие показывает, что полного списка не существует.

Важное уточнение: дроби бывают разными

Если под дробями понимать рациональные числа — числа, которые можно записать отношением целых чисел, — их, в отличие от всех вещественных чисел, перечислить можно. Например, можно систематически перебирать дроби с разными числителями и знаменателями, пропуская повторения. Диагональный аргумент доказывает существование пропуска среди вещественных чисел, а не обязательно среди рациональных.

Поэтому даже на отрезке между 0 и 1 есть два разных масштаба бесконечности: рациональные числа можно занумеровать, а вещественные — нет. Какой бы длинный бесконечный список вещественных чисел ни составили, новое число можно спроектировать прямо по его диагонали.