Как диагональ поставила под сомнение устройство чисел
У квадрата со стороной 1 диагональ равна √2: это следует из теоремы Пифагора. Но запись «√2» не отвечает на вопрос, можно ли выразить длину обычной дробью — отношением двух целых чисел. Оказалось, что нельзя. Такие величины называют несоизмеримыми: никакая общая мера не укладывается в обе длины целое число раз.
Доказательство простое, но результат непривычен. Если бы √2 можно было записать как несократимую дробь m/n, то из равенства m² = 2n² следовало бы, что m — чётное. Подставив m = 2k, получили бы, что и n чётное. Значит, у дроби есть общий делитель 2 — противоречие с тем, что она несократима.
Почему это тревожило пифагорейцев
Пифагорейскую школу связывало представление, что числовые отношения лежат в основе порядка мира. Для многих привычных музыкальных интервалов действительно подходят простые отношения целых чисел. Но √2 показывало предел такого взгляда: геометрическая длина могла быть совершенно точно задана, хотя дроби для неё не существовало.
Это не означало, что диагональ невозможно измерить или описать. Её можно обозначить корнем из двух и приближать десятичными дробями. Переворот состоял в другом: целые числа и их отношения оказались недостаточны, чтобы выразить все величины, с которыми математики сталкивались в геометрии.
От доказательства к легенде
Поздние рассказы связывают это открытие с Гиппасом и утверждают, что разглашение тайны погубило его в море. Надёжно восстановить по такой легенде ход событий нельзя; важнее, что она сохранила память о столкновении с идеей, нарушившей привычную картину мира.
Сегодня √2 — обычный элемент математики, а его десятичная запись начинается с 1,414… и никогда не заканчивается периодом. Когда-то же диагональ единичного квадрата показала: точность не всегда означает возможность выразить длину дробью.
