Почему вариантов ровно 181 440
Это число относится к компактной версии головоломки на поле 3 × 3: восемь пронумерованных плиток и одна пустая клетка. Девять объектов можно расставить по клеткам 9! способами — всего 362 880 раскладок. Но из каждой раскладки не получится добраться до решения, передвигая плитки только в пустую клетку: достижима лишь половина.
Ограничение, спрятанное в каждом ходе
Причина — в чётности перестановки, то есть в том, чётное или нечётное число обменов соседних элементов нужно, чтобы вернуть плитки в исходный порядок. Один ход меняет местами пустую клетку и плитку, поэтому чётность всей расстановки меняется. Одновременно пустая клетка переходит на соседний цвет шахматной раскраски поля. Связь между этими двумя изменениями сохраняется: легальные ходы не позволяют перейти из одной половины всех раскладок в другую.
Поэтому из 362 880 возможных расположений ровно 181 440 связаны с решённой позицией последовательностью ходов. Остальные не просто трудны — их нельзя решить, не поднимая плитки с поля.
Число вариантов — не число решений
181 440 — это количество достижимых состояний, а не количество разных способов собрать головоломку. Несколько ходов могут вести к одному и тому же расположению, а кратчайший путь к решению зависит от начальной позиции. Именно поэтому порой кажется, что ход лишь отдаляет от цели: вариантов много, но каждый допустимый шаг остаётся внутри одной и той же половины пространства раскладок.
