Как квадрат приводит к числу, которого нет среди дробей
Построить диагональ квадрата легко: достаточно соединить два противоположных угла. А найти её длину помогает теорема Пифагора. Если каждая сторона равна 1, то квадрат длины диагонали равен сумме квадратов сторон: 1² + 1² = 2. Значит, длина диагонали — число, квадрат которого равен 2, то есть √2.
Почему дробь не может совпасть с этой длиной
Предположим, что √2 всё-таки можно записать дробью a/b, где a и b — целые числа, а дробь уже сокращена. Тогда a² = 2b². Правая часть чётная, поэтому a² чётно, а вместе с ним чётно и a. Запишем a как 2k. После подстановки получим b² = 2k² — значит, b тоже чётно.
Но тогда и числитель, и знаменатель делятся на 2: дробь не была сокращена, вопреки исходному предположению. Выходит, представить √2 дробью целых чисел невозможно.
Точная длина без точной дроби
Это не значит, что диагональ приблизительна или неопределённа. Её задаёт точная геометрическая конструкция, а символ √2 точно обозначает число, квадрат которого равен 2. Ограничение касается именно записи в виде дроби, а не существования или измеримости длины.
У рациональных чисел десятичная запись либо заканчивается, либо рано или поздно начинает повторять один и тот же набор цифр. У √2 такого повтора нет. Поэтому любой конечный замер диагонали даёт лишь приближение, тогда как геометрически её длина определена совершенно точно.
