Как многоугольник превращался в измерительный прибор
Архимед начал с правильного шестиугольника: у него длина каждой стороны вписана в окружность и связана с её радиусом простой геометрией. Затем он делил дуги пополам — каждый раз удваивал число сторон. Так шестиугольник сменяли фигуры с 12, 24, 48 и, наконец, 96 сторонами. Чем мельче становились дуги, тем меньше отличались прямые стороны многоугольника от участков окружности.
Но требовалось не просто начертить многоугольники. Нужно было вычислить их периметры, а для этого — находить длины новых сторон. Архимед сводил эти вычисления к геометрическим соотношениям и аккуратно округлял промежуточные результаты так, чтобы границы оставались надёжными. Поэтому нижняя и верхняя оценки не зависели от удачи измерения или точности чертежа.
Почему пределы сжимались
У вписанного многоугольника каждая сторона срезает небольшой участок круга, поэтому его периметр меньше длины окружности. У описанного стороны проходят снаружи, и его периметр оказывается больше. Деление обеих оценок на один и тот же диаметр превращает границы для окружности в границы для отношения длины окружности к диаметру — то есть для π.
Удвоение числа сторон давало не только более тесные рамки, но и более трудную арифметику: приходилось снова оценивать корни и следить за округлением. В этом и сила метода Архимеда: он получил точность не благодаря прибору, а благодаря доказуемым пределам. Даже если саму окружность нельзя разложить на прямые отрезки, её длину можно заключить между ними и постепенно сделать промежуток сколь угодно малым.
